Exercice 30

1. On applique les quatre étapes : $$\begin{aligned} 1 &\longmapsto 5\longmapsto 5\times 1=5\longmapsto 9\\ 3 &\longmapsto 7\longmapsto 7\times 3=21\longmapsto 25\\ -5 &\longmapsto -1\longmapsto (-1)\times(-5)=5\longmapsto 9 \end{aligned}$$

2. Ces trois nombres sont des carrés : $9=3^2$ et $25=5^2$. $$\boxed{\text{On conjecture que le résultat est toujours un carré}}$$

3. En notant $x$ le nombre choisi, le programme calcule $x+4$, puis $x(x+4)$, puis : $$x(x+4)+4=x^2+4x+4$$

4. On reconnaît une identité remarquable, avec $a=x$ et $b=2$ : $$x^2+2\times x\times 2+2^2=(x+2)^2$$

$$\boxed{\text{le résultat est toujours le carré de }x+2}$$ ce qui démontre la conjecture. On retrouve bien $(1+2)^2=9$, $(3+2)^2=25$ et $(-5+2)^2=9$.

5. Un carré est toujours positif ou nul, donc : $$\boxed{\text{le programme ne peut jamais renvoyer un nombre strictement négatif}}$$ Il renvoie d'ailleurs $0$ lorsque l'on choisit $x=-2$.