ExerciceSeconde, chapitre 2 — Calcul littéral · Exercices de synthèse

Exercice 34

DémonstrationCalcul

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels.

1. Développer et réduire $(a+b)^2-(a-b)^2$ .

2. En déduire une méthode pour calculer mentalement $17^2-13^2$ . (On pourra poser $a=15$ et $b=2$ .)

3. Démontrer de même que $(a+b)^2+(a-b)^2=2\left(a^2+b^2\right)$ .

4. On suppose que $a+b=7$ et que $ab=10$ . Sans chercher les valeurs de $a$ et $b$ , calculer $(a-b)^2$ à l'aide de la question 1., puis $a^2+b^2$ à l'aide de la question 3.

Corrigé

1. On développe les deux carrés, puis on soustrait : $\begin{aligned} (a+b)^2-(a-b)^2 &= \left(a^2+2ab+b^2\right)-\left(a^2-2ab+b^2\right)\\ &= a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2 \end{aligned}$

\boxed{(a+b)^2-(a-b)^2=4ab}

2. En posant $a=15$ et $b=2$ , on a $a+b=17$ et $a-b=13$ , donc : $17^2-13^2=(a+b)^2-(a-b)^2=4ab=4\times 15\times 2$

$\boxed{17^2-13^2=120}$ Le calcul est immédiat, alors que $289-169$ demande deux carrés et une soustraction.

3. On additionne cette fois les deux développements : $\begin{aligned} (a+b)^2+(a-b)^2 &= \left(a^2+2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ab+b^2\right)\\ &= 2a^2+2b^2 \end{aligned}$

\boxed{(a+b)^2+(a-b)^2=2\left(a^2+b^2\right)}

4. D'après la question 1., $(a-b)^2=(a+b)^2-4ab$ , donc : $(a-b)^2=7^2-4\times 10=49-40 \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{(a-b)^2=9}$ D'après la question 3., $2\left(a^2+b^2\right)=(a+b)^2+(a-b)^2=49+9=58$ , d'où : $\boxed{a^2+b^2=29}$

Énoncé PDF, p. 8 Corrigé PDF, p. 14 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

ℤ est un anneau commutatif intègre

Thèmes

développement, identités remarquables, carré d'une expression

Notions

anneau