Exercice 35

1. Le dénominateur se factorise : $x^2+2x+1=(x+1)^2$, et ce carré s'annule uniquement lorsque $x+1=0$ : $$\boxed{\text{la seule valeur interdite est }-1}$$

2. On factorise le numérateur à l'aide de la différence de deux carrés : $$F(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x+1)(x+1)}$$ On simplifie alors par le facteur commun $(x+1)$, non nul : $$\boxed{F(x)=\frac{x-1}{x+1}}$$

3. Avec cette écriture simplifiée : $$F(0)=\frac{-1}{1}=\boxed{-1} \qquad F(2)=\frac{1}{3}=\boxed{\frac{1}{3}} \qquad F(-3)=\frac{-4}{-2}=\boxed{2}$$

4. On écrit $1=\dfrac{x+1}{x+1}$ afin d'obtenir le même dénominateur : $$\begin{aligned} F(x)-1 &= \frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x+1}\\ &= \frac{x-1-(x+1)}{x+1}=\frac{x-1-x-1}{x+1} \end{aligned}$$

5. En ajoutant $1$ à chaque membre de l'égalité précédente, on obtient immédiatement, pour toute valeur de $x$ différente de $-1$ : $$\boxed{F(x)=1-\frac{2}{x+1}}$$ Cette écriture montre au passage que $F(x)$ ne vaut jamais exactement $1$, puisque le quotient $\dfrac{2}{x+1}$ ne s'annule pour aucune valeur de $x$.