Exercice 2

Ici $\Omega=\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\}$.

1. On liste les issues qui réalisent chaque événement :

• $A=\{2\,;4\,;6\}$

• $B=\{5\,;6\}$

• $C=\{3\,;6\}$

• $D=\{1\}$

• $E=\{2\,;3\,;5\}$

Attention : $1$ n'est pas un nombre premier, il n'appartient donc pas à $E$.

2. L'événement contraire est formé de toutes les autres issues de $\Omega$ : $$\boxed{\overline{A}=\{1\,;3\,;5\}}\qquad\qquad \boxed{\overline{E}=\{1\,;4\,;6\}}$$

3. On rappelle que $\cap$ signifie « et » (issues communes) et $\cup$ signifie « ou » (issues de l'un ou de l'autre, sans les compter deux fois).

• $A\cap B=\{2\,;4\,;6\}\cap\{5\,;6\}=\boxed{\{6\}}$

• $A\cup B=\{2\,;4\,;6\}\cup\{5\,;6\}=\boxed{\{2\,;4\,;5\,;6\}}$

• $B\cap C=\{5\,;6\}\cap\{3\,;6\}=\boxed{\{6\}}$

• $A\cap C=\{2\,;4\,;6\}\cap\{3\,;6\}=\boxed{\{6\}}$

• $A\cap E=\{2\,;4\,;6\}\cap\{2\,;3\,;5\}=\boxed{\{2\}}$

• $C\cup E=\{3\,;6\}\cup\{2\,;3\,;5\}=\boxed{\{2\,;3\,;5\,;6\}}$

On remarque que trois de ces intersections sont réduites à la seule issue $6$ : c'est normal, $6$ est le seul nombre du dé qui soit à la fois pair, supérieur ou égal à $5$ et multiple de $3$.

4. $A\cap C$ : « obtenir un nombre pair qui est aussi un multiple de $3$ », c'est-à-dire un multiple de $6$ : ici, obtenir $6$.

$A\cap E$ : « obtenir un nombre pair qui est aussi premier », c'est-à-dire obtenir $2$, seul nombre pair premier.

5. Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune issue commune.

• $A\cap B=\{6\}\neq\varnothing$ : $A$ et $B$ ne sont pas incompatibles.

• $A\cap D=\{2\,;4\,;6\}\cap\{1\}=\varnothing$ : $A$ et $D$ sont incompatibles.

• $B\cap C=\{6\}\neq\varnothing$ : $B$ et $C$ ne sont pas incompatibles.

• $D\cap E=\{1\}\cap\{2\,;3\,;5\}=\varnothing$ : $D$ et $E$ sont incompatibles.

6. On constate que $D\cap E=\varnothing$, mais que $D\cup E=\{1\,;2\,;3\,;5\}\neq\Omega$ (les issues $4$ et $6$ manquent). Deux événements contraires doivent vérifier les deux conditions, donc $$\boxed{D \text{ et } E \text{ ne sont pas contraires : ils sont seulement incompatibles.}}$$ D'ailleurs $\overline{D}=\{2\,;3\,;4\,;5\,;6\}\neq E$.