Exercice 4

1. Sur les $18$ élèves de théâtre, $5$ font aussi de la musique : il y en a donc $18-5=13$ qui font uniquement du théâtre. De même $12-5=7$ élèves font uniquement de la musique. Enfin $40-(13+5+7)=40-25=15$ élèves ne suivent aucune des deux options.

2. Il y a équiprobabilité (l'élève est choisi au hasard parmi $40$) : $$P(T)=\frac{18}{40}=\boxed{\frac{9}{20}=0{,}45}\qquad P(M)=\frac{12}{40}=\boxed{\frac{3}{10}=0{,}3}\qquad P(T\cap M)=\frac{5}{40}=\boxed{\frac{1}{8}=0{,}125}$$

3. Par lecture du diagramme : les élèves qui suivent au moins une des deux options sont au nombre de $13+5+7=25$, donc $$P(T\cup M)=\frac{25}{40}=\boxed{\frac{5}{8}=0{,}625}$$ Par la formule du cours : $$P(T\cup M)=P(T)+P(M)-P(T\cap M)=0{,}45+0{,}3-0{,}125=\boxed{0{,}625}$$ On retrouve bien le même résultat.

4. $P\left(\overline{T}\right)=1-P(T)=1-0{,}45=\boxed{0{,}55}$.

« Ne suivre aucune des deux options » est l'événement contraire de $T\cup M$, donc $$P\left(\overline{T\cup M}\right)=1-P(T\cup M)=1-0{,}625=\boxed{0{,}375}$$ Ce qui correspond bien aux $15$ élèves lus sur le diagramme : $\dfrac{15}{40}=0{,}375$.