Exercice 5

1. Fausse. Une probabilité est toujours comprise entre $0$ et $1$ : elle ne peut pas valoir $1{,}2$. Énoncé correct : pour tout événement $A$, on a $0\leqslant P(A)\leqslant 1$.

2. Vraie. Si $A$ et $\overline{A}$ sont contraires, alors aucune issue ne peut réaliser les deux à la fois : $A\cap\overline{A}=\varnothing$, ce qui est exactement la définition de l'incompatibilité.

3. Fausse. Contre-exemple : on lance un dé à six faces, $A=\{1\}$ et $B=\{2\}$. Ces deux événements sont incompatibles, pourtant $A\cup B=\{1\,;2\}\neq\Omega$ : ils ne sont pas contraires. Énoncé correct : deux événements sont contraires lorsque $A\cap B=\varnothing$ et $A\cup B=\Omega$.

4. Vraie. Le « ou » des mathématiques est inclusif : $A\cup B$ contient les issues qui réalisent $A$, celles qui réalisent $B$, et donc aussi celles qui réalisent les deux.

5. Vraie. C'est la formule du cours : comme $A\cap B=\varnothing$, aucune issue n'est comptée deux fois, et $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-0=P(A)+P(B)$.

6. Vraie. Si $P(A)=1$, alors $P\left(\overline{A}\right)=1-1=0$ : aucune issue de probabilité non nulle ne réalise le contraire de $A$, donc $A$ se produit à coup sûr.