ExerciceSeconde, chapitre 3 — Probabilités · Lois de probabilité

Exercice 8

Calcul

Pour tester un dé, on le lance $1\,000$ fois et on relève les effectifs suivants :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Face} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Effectif} & 98 & 171 & 165 & 159 & 172 & 235 \\ \hline \end{array}

1. Vérifier que le total des effectifs est bien $1\,000$ , puis calculer la fréquence de chaque face.

2. Quelle serait la probabilité de chaque face si le dé était équilibré ? Comparer.

3. Ce dé semble-t-il truqué ? Si oui, en faveur de quelle face ?

4. On admet que les fréquences observées constituent une bonne estimation de la loi de probabilité du dé. Estimer alors la probabilité d'obtenir un nombre pair.

Corrigé

1. $98+171+165+159+172+235=1\,000$ : le total est bien correct.

La fréquence d'une face s'obtient en divisant son effectif par $1\,000$ :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Face} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline \text{Effectif} & 98 & 171 & 165 & 159 & 172 & 235 \\ \hline \text{Fréquence} & 0{,}098 & 0{,}171 & 0{,}165 & 0{,}159 & 0{,}172 & 0{,}235 \\ \hline \end{array}

2. Si le dé était équilibré, chaque face aurait la probabilité $\frac{1}{6}\approx \boxed{0{,}167}$ On constate que les fréquences des faces $2$ , $3$ , $4$ et $5$ sont assez proches de $0{,}167$ , mais que celle de la face $1$ est nettement plus petite ( $0{,}098$ ) et celle de la face $6$ nettement plus grande ( $0{,}235$ ).

3. Sur un aussi grand nombre de lancers, de tels écarts ne peuvent pas s'expliquer par le seul hasard : $\boxed{\text{le dé semble truqué, en faveur de la face } 6.}$

4. On assimile les probabilités aux fréquences observées : $P(\text{pair})=0{,}171+0{,}159+0{,}235=\boxed{0{,}565}$ (à comparer à $0{,}5$ pour un dé équilibré).

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Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

loi de probabilité, équiprobabilité, tirages

Notions

espace probabilisé