Exercice 15

1. On note $P$ pour « pile » et $F$ pour « face ».

L'arbre possède $2\times 2=\boxed{4 \text{ issues.}}$

2. La pièce est équilibrée et les deux lancers se font dans les mêmes conditions : à chaque étape, « pile » et « face » ont la même probabilité $\dfrac{1}{2}$. Les quatre chemins de l'arbre sont donc équiprobables, chacun de probabilité $$\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{4}}$$

3. Un seul chemin donne deux fois « pile » : $\quad P=\boxed{\dfrac{1}{4}}$

4. Deux chemins conviennent, $(P\,;F)$ et $(F\,;P)$ : $$P(\text{exactement un pile})=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\boxed{\frac{1}{2}}$$ Attention : « exactement une fois pile » n'est pas « pile au premier lancer » ; il faut bien compter les deux ordres possibles.

5. L'événement contraire de « au moins une fois pile » est « aucune fois pile », c'est-à-dire l'issue $(F\,;F)$ : $$P(\text{au moins un pile})=1-\frac{1}{4}=\boxed{\frac{3}{4}}$$