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ExerciceSeconde, chapitre 3 — Probabilités · Expériences à plusieurs étapes

Exercice 16

Calcul

Une urne contient quatre boules jaunes et une boule noire, indiscernables au toucher. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne, puis on en tire une seconde.

1. Justifier que les deux tirages se déroulent dans les mêmes conditions.

2. Représenter l'expérience par un arbre pondéré.

3. Calculer la probabilité de chacune des quatre issues, et vérifier que la somme vaut 11.

4. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules jaunes.

5. Calculer la probabilité d'obtenir exactement une boule noire.

6. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une boule noire.

Corrigé

1. La boule tirée est remise dans l'urne avant le second tirage : l'urne contient donc à nouveau 44 boules jaunes et 11 boule noire. Les deux tirages se déroulent bien dans les mêmes conditions, et le résultat du premier n'a aucune influence sur le second.

2. On note JJ « obtenir une boule jaune » et NN « obtenir une boule noire ». À chaque tirage, P(J)=45P(J)=\dfrac{4}{5} et P(N)=15P(N)=\dfrac{1}{5}.

Figure

3. On multiplie les probabilités le long de chaque chemin :

• P(J ;J)=45×45=1625P(J\,;J)=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{16}{25}

• P(J ;N)=45×15=425P(J\,;N)=\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{25}

• P(N ;J)=15×45=425P(N\,;J)=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{4}{25}

• P(N ;N)=15×15=125P(N\,;N)=\dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{25}

1625+425+425+125=2525=1\frac{16}{25}+\frac{4}{25}+\frac{4}{25}+\frac{1}{25}=\frac{25}{25}=\boxed{1}

4. P(deux jaunes)=1625P(\text{deux jaunes})=\boxed{\dfrac{16}{25}}

5. Deux chemins conviennent : P(exactement une noire)=425+425=825P(\text{exactement une noire})=\frac{4}{25}+\frac{4}{25}=\boxed{\frac{8}{25}}

6. Le contraire de « au moins une noire » est « deux jaunes » : P(au moins une noire)=1−1625=925P(\text{au moins une noire})=1-\frac{16}{25}=\boxed{\frac{9}{25}}

Énoncé PDF, p. 5Corrigé PDF, p. 9Toute la feuilleLe cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

univers et issues, arbre pondéré, tirages

Notions

espace probabilisé

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