Exercice 22

1. L'atelier $A$ fabrique $60\,\%$ de la production, donc $P(A)=0{,}6$ et $P(B)=1-0{,}6=0{,}4$. Les pourcentages de pièces défectueuses sont donnés à l'intérieur de chaque atelier : ce sont des probabilités conditionnelles. $$\boxed{P(A)=0{,}6\qquad P(B)=0{,}4 \qquad P_A(D)=0{,}03\qquad P_B(D)=0{,}06}$$

2.

3. $P(A\cap D)=P(A)\times P_A(D)=0{,}6\times 0{,}03=\boxed{0{,}018}$

4. $P(B\cap D)=P(B)\times P_B(D)=0{,}4\times 0{,}06=\boxed{0{,}024}$

Une pièce défectueuse provient soit de $A$, soit de $B$ : ces deux cas sont incompatibles, donc $$P(D)=P(A\cap D)+P(B\cap D)=0{,}018+0{,}024=\boxed{0{,}042}$$

5. $0{,}042=\dfrac{4{,}2}{100}$, donc les pièces défectueuses représentent $\boxed{4{,}2\,\%}$ de la production totale.

6. On sait maintenant que la pièce est défectueuse : on cherche $P_D(B)$. $$P_D(B)=\frac{P(B\cap D)}{P(D)}=\frac{0{,}024}{0{,}042}=\frac{24}{42}=\frac{4}{7} \approx\boxed{0{,}57}$$ Bien que l'atelier $B$ fabrique moins de pièces que $A$, il produit plus de la moitié des pièces défectueuses, car son taux de défaut est deux fois plus élevé.