Exercice 23

On rappelle que $A$ et $B$ sont indépendants lorsque $P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$.

1. $P(A)\times P(B)=0{,}4\times 0{,}25=0{,}1$, et $P(A\cap B)=0{,}1$. Les deux nombres sont égaux, donc $$\boxed{A \text{ et } B \text{ sont indépendants.}}$$

2. $P(C)\times P(D)=0{,}5\times 0{,}2=0{,}1$, alors que $P(C\cap D)=0{,}15$. Les deux nombres sont différents, donc $$\boxed{C \text{ et } D \text{ ne sont pas indépendants.}}$$

3. Ici l'indépendance est donnée dans l'énoncé : on peut donc l'utiliser pour calculer l'intersection. $$P(E\cap F)=P(E)\times P(F)=0{,}3\times 0{,}6=\boxed{0{,}18}$$

4. Le dé n'a pas de mémoire : le résultat du premier lancer ne modifie en rien les chances d'obtenir un $6$ au second. Les événements $U$ et $V$ sont donc indépendants, et $$P(U\cap V)=P(U)\times P(V)=\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}=\boxed{\frac{1}{36}}$$