Exercice 24

1. Fausse. Contre-exemple : on lance un dé équilibré, $A=\{1\}$ et $B=\{2\}$. Ces événements sont incompatibles, donc $P(A\cap B)=0$, alors que $P(A)\times P(B)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}\neq 0$. Ils ne sont donc pas indépendants. Incompatibilité et indépendance sont même des idées opposées : si $A$ et $B$ sont incompatibles, la réalisation de $A$ interdit celle de $B$, ce qui est une très forte influence !

2. Fausse. Contre-exemple : avec les données de l'exercice 20, $P_D(S)=0{,}625$ et $P_S(D)\approx 0{,}690$. Énoncé correct : $P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ et $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ : le numérateur est le même, mais pas le dénominateur.

3. Vraie. C'est exactement la définition de l'indépendance de deux événements.

4. Vraie. Depuis un nœud donné, les branches décrivent toutes les possibilités, deux à deux incompatibles : leurs probabilités totalisent donc $1$.

5. Vraie. Savoir que $A$ est réalisé peut très bien augmenter les chances de $B$. Exemple : dans l'exercice 21, $P_A(B)=0{,}8$ alors que $P(B)=0{,}415$.

6. Fausse, en toute rigueur. Contre-exemple : on lance un dé truqué dont la face $1$ ne sort jamais, c'est-à-dire $P(1)=0$. Avec $A=\{1\,;2\}$ et $B=\{1\,;3\}$, on a $A\cap B=\{1\}$ : les événements ne sont pas incompatibles, et pourtant $P(A\cap B)=P(1)=0$.

Remarque importante : dès que toutes les issues ont une probabilité non nulle (c'est en particulier le cas en situation d'équiprobabilité), l'affirmation devient vraie.