Exercice 25

On note $R$ « la boule tirée est rouge » et $V$ « la boule tirée est verte ». L'urne contient au départ $2$ boules rouges et $3$ boules vertes, soit $5$ boules.

1. $P(R_1)=\boxed{\dfrac{2}{5}}$

2. Si la première boule est rouge, il reste dans l'urne $1$ rouge et $3$ vertes, soit $4$ boules : $$P_{R_1}(R_2)=\boxed{\frac{1}{4}}$$ Si la première boule est verte, il reste $2$ rouges et $2$ vertes, soit $4$ boules : $$P_{V_1}(R_2)=\frac{2}{4}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

3.

Attention : contrairement aux exercices précédents, les probabilités du second niveau ne sont pas les mêmes que celles du premier, puisque l'urne a changé de composition.

4. $P(\text{deux rouges})=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{20} =\boxed{\dfrac{1}{10}}$

5. Deux chemins conviennent, $(R\,;V)$ et $(V\,;R)$ : $$P(\text{exactement une rouge})=\frac{2}{5}\times\frac{3}{4} +\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{6}{20}+\frac{6}{20}=\frac{12}{20}=\boxed{\frac{3}{5}}$$

6. Avec remise, l'urne est identique aux deux tirages et $$P(\text{deux rouges})=\frac{2}{5}\times\frac{2}{5}=\boxed{\frac{4}{25}=0{,}16}$$ alors que sans remise on avait $\dfrac{1}{10}=0{,}1$. Les résultats sont donc différents : $$\boxed{\text{sans remise, les deux tirages ne sont pas indépendants.}}$$ En effet, le premier tirage modifie le contenu de l'urne, donc les probabilités du second. Avec remise, en revanche, les deux tirages sont indépendants.