Exercice 26

1. On complète par différences : $600-350=250$ garçons ; $350-120=230$ filles sans sport ; $240-120=120$ garçons sportifs ; $250-120=130$ garçons sans sport.

Vérification : $240+360=600$ et $350+250=600$.

2. $$P(F)=\frac{350}{600}=\boxed{\frac{7}{12}\approx 0{,}583}\qquad P(S)=\frac{240}{600}=\boxed{\frac{2}{5}=0{,}4}\qquad P(F\cap S)=\frac{120}{600}=\boxed{\frac{1}{5}=0{,}2}$$

3. $$P(F\cup S)=P(F)+P(S)-P(F\cap S)=\frac{7}{12}+\frac{2}{5}-\frac{1}{5} =\frac{35}{60}+\frac{24}{60}-\frac{12}{60}=\boxed{\frac{47}{60}\approx 0{,}783}$$ Il y a environ $78{,}3\,\%$ de chances que l'élève choisi soit une fille ou pratique un sport en club (ou les deux).

4. $$P_F(S)=\frac{P(F\cap S)}{P(F)}=\frac{120}{350}=\boxed{\frac{12}{35}\approx 0{,}343}$$ Parmi les filles du lycée, environ $34{,}3\,\%$ pratiquent un sport en club. $$P_S(F)=\frac{P(F\cap S)}{P(S)}=\frac{120}{240}=\boxed{\frac{1}{2}=0{,}5}$$ Parmi les élèves qui pratiquent un sport en club, exactement la moitié sont des filles.

5. On compare $P_F(S)\approx 0{,}343$ et $P(S)=0{,}4$ : ces nombres sont différents, donc $$\boxed{F \text{ et } S \text{ ne sont pas indépendants.}}$$ Autre méthode : $P(F)\times P(S)=\dfrac{7}{12}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{7}{30} \approx 0{,}233$, alors que $P(F\cap S)=0{,}2$.