ExerciceSeconde, chapitre 3 — Probabilités · Exercices de synthèse

Exercice 27

Calcul

On dispose d'un dé équilibré à six faces et de deux urnes :

• l'urne $U_{1}$ contient trois boules rouges et une boule verte ;

• l'urne $U_{2}$ contient une boule rouge et trois boules vertes.

On lance le dé : si l'on obtient un $6$ , on tire une boule dans l'urne $U_{1}$ , sinon on tire une boule dans l'urne $U_{2}$ .

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge de l'urne $U_{1}$ .

3. Calculer de même la probabilité de tirer une boule rouge de l'urne $U_{2}$ .

4. En déduire la probabilité de tirer une boule rouge.

5. On a tiré une boule rouge. Quelle est la probabilité qu'elle provienne de l'urne $U_{1}$  ?

Corrigé

On note $U_1$ « tirer dans l'urne $U_1$  », $U_2$ « tirer dans l'urne $U_2$  » et $R$ « la boule tirée est rouge ».

1. Le dé est équilibré, donc $P(U_1)=\dfrac{1}{6}$ (on obtient $6$ ) et $P(U_2)=\dfrac{5}{6}$ . Chaque urne contient $4$ boules : $P_{U_1}(R)=\dfrac{3}{4}$ et $P_{U_2}(R)=\dfrac{1}{4}$ .

2. $P(U_1\cap R)=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{24}=\boxed{\dfrac{1}{8}}$

3. $P(U_2\cap R)=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{1}{4}=\boxed{\dfrac{5}{24}}$

4. La boule rouge provient soit de $U_1$ , soit de $U_2$ , cas incompatibles : $P(R)=\frac{3}{24}+\frac{5}{24}=\frac{8}{24}=\boxed{\frac{1}{3}}$

5. On sait maintenant que la boule est rouge : $P_R(U_1)=\frac{P(U_1\cap R)}{P(R)}=\frac{\ \frac{3}{24}\ }{\frac{8}{24}} =\boxed{\frac{3}{8}=0{,}375}$ Bien que l'urne $U_1$ soit riche en boules rouges, on y tire rarement (une fois sur six) : moins de $4$ boules rouges sur $10$ en proviennent.

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 17 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Espaces probabilisés et probabilités conditionnelles

Thèmes

équiprobabilité, arbre pondéré, tirages