Exercice 28

1. On lance quatre fois un dé équilibré. Les quatre lancers sont indépendants : le dé n'a pas de mémoire.

(a) Cinq faces sur six ne sont pas des $6$ : $$P(\text{pas de } 6 \text{ à un lancer})=\boxed{\frac{5}{6}}$$

(b) On multiplie les probabilités le long du chemin de l'arbre « pas de $6$ » répété quatre fois : $$P(\text{aucun } 6)=\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6}\times\frac{5}{6} =\left(\frac{5}{6}\right)^{4}=\boxed{\frac{625}{1\,296}\approx 0{,}4823}$$

(c) « Obtenir au moins un $6$ » est l'événement contraire de « n'obtenir aucun $6$ » : $$P(\text{au moins un } 6)=1-\frac{625}{1\,296}=\frac{671}{1\,296}\approx\boxed{0{,}5177}$$

2. On lance vingt-quatre fois deux dés équilibrés.

(a) En lançant deux dés distinguables, il y a $6\times 6=36$ issues équiprobables, et une seule donne un double $6$ : $$P(\text{double } 6)=\boxed{\frac{1}{36}}$$

(b) La probabilité de ne pas obtenir de double $6$ à un lancer vaut $1-\dfrac{1}{36}=\dfrac{35}{36}$. Les vingt-quatre lancers étant indépendants : $$P(\text{aucun double } 6)=\left(\frac{35}{36}\right)^{24}\approx 0{,}5086$$

3. On compare : $0{,}5177>0{,}5$ mais $0{,}4914<0{,}5$. $$\boxed{\text{Le chevalier de Méré avait tort : les deux paris ne sont pas équivalents.}}$$ Le premier pari est légèrement favorable au joueur (un peu plus d'une chance sur deux), tandis que le second est légèrement défavorable. L'écart est faible, mais suffisant pour qu'un joueur assidu finisse par le remarquer… ce qui fut le cas du chevalier, dont la question posée à Pascal est à l'origine du calcul des probabilités.