Exercice 21

1. La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut toujours $1$. On obtient donc $1-0{,}3=0{,}7$ pour $\overline{A}$, puis $1-0{,}8=0{,}2$ et $1-0{,}25=0{,}75$.

2. Ce sont des probabilités portées par des branches du second niveau : ce sont donc des probabilités conditionnelles. $$\boxed{0{,}8=P_A(B)\qquad\text{et}\qquad 0{,}25=P_{\overline{A}}(B)}$$ Autrement dit, $0{,}8$ est la probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ est réalisé, et $0{,}25$ la probabilité que $B$ se réalise sachant que $A$ ne l'est pas.

3. On multiplie les probabilités le long du chemin : $$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=0{,}3\times 0{,}8=\boxed{0{,}24}$$

4. L'événement $B$ est réalisé par deux chemins de l'arbre, celui qui passe par $A$ et celui qui passe par $\overline{A}$. Ces deux chemins étant incompatibles, on additionne : $$P(B)=P(A\cap B)+P\left(\overline{A}\cap B\right)=0{,}24+0{,}175=\boxed{0{,}415}$$

5. On compare $P_A(B)=0{,}8$ et $P(B)=0{,}415$ : ces nombres sont différents, donc $$\boxed{A \text{ et } B \text{ ne sont pas indépendants.}}$$ Vérification : $P(A)\times P(B)=0{,}3\times 0{,}415=0{,}1245\neq 0{,}24 =P(A\cap B)$.