Exercice 20

1. L'élève étant choisi au hasard parmi $500$ : $$P(S)=\frac{290}{500}=\boxed{\frac{29}{50}=0{,}58} \qquad\qquad P(D)=\frac{320}{500}=\boxed{\frac{16}{25}=0{,}64}$$

2. La case commune à la ligne « demi-pensionnaires » et à la colonne « sport en club » contient $200$ élèves : $$P(D\cap S)=\frac{200}{500}=\boxed{\frac{2}{5}=0{,}4}$$

3. Par lecture du tableau : on sait déjà que l'élève est demi-pensionnaire ; on se restreint donc à la ligne des $320$ demi-pensionnaires, parmi lesquels $200$ font du sport : $$P_D(S)=\frac{200}{320}=\boxed{\frac{5}{8}=0{,}625}$$ Par la formule du cours : $$P_D(S)=\frac{P(D\cap S)}{P(D)}=\frac{0{,}4}{0{,}64}=\boxed{0{,}625}$$ On retrouve bien le même résultat.

4. Cette fois on se restreint à la colonne des $290$ sportifs, dont $200$ sont demi-pensionnaires : $$P_S(D)=\frac{P(D\cap S)}{P(S)}=\frac{0{,}4}{0{,}58}=\frac{200}{290} =\boxed{\frac{20}{29}\approx 0{,}690}$$ On constate que $P_D(S)\neq P_S(D)$ : ces deux nombres ne mesurent pas du tout la même chose. Le premier est la proportion de sportifs parmi les demi-pensionnaires, le second la proportion de demi-pensionnaires parmi les sportifs.

5. On compare $P_D(S)$ et $P(S)$ : $$P_D(S)=0{,}625 \qquad\text{et}\qquad P(S)=0{,}58$$ Ces deux nombres sont différents : savoir que l'élève est demi-pensionnaire modifie la probabilité qu'il fasse du sport, donc $$\boxed{D \text{ et } S \text{ ne sont pas indépendants.}}$$ Autre méthode : $P(D)\times P(S)=0{,}64\times 0{,}58=0{,}3712$, alors que $P(D\cap S)=0{,}4$. Les deux nombres diffèrent, donc les événements ne sont pas indépendants.