Exercice 9

Rappel du cours : lorsque l'inconnue disparaît, c'est l'égalité restante qu'il faut regarder.

a) $2x+5=2x+1$. On retranche $2x$ aux deux membres : $5=1$. Cette égalité est fausse, donc $\boxed{S=\varnothing \text{ : aucune solution.}}$

b) $3(x+2)=3x+6 \iff 3x+6=3x+6 \iff 0=0$. Cette égalité est toujours vraie, donc $\boxed{S=\mathbb{R} \text{ : tous les réels sont solutions.}}$

c) $5x+8=3x+8 \iff 2x=0 \iff \boxed{x=0}$

Attention : ici l'inconnue ne disparaît pas. Il reste $2x=0$, qui admet l'unique solution $0$.

d) $5(x-1)=5x+2 \iff 5x-5=5x+2 \iff -5=2$, égalité fausse : $\boxed{S=\varnothing}$

e) $2(3x+1)=6x+2 \iff 6x+2=6x+2 \iff 0=0$ : $\boxed{S=\mathbb{R}}$

f) $3(2x-5)=6x-12 \iff 6x-15=6x-12 \iff -15=-12$, égalité fausse : $\boxed{S=\varnothing}$

g) $5(x+2)=3x+7 \iff 5x+10=3x+7 \iff 2x=-3 \iff \boxed{x=-\dfrac{3}{2}}$

h) $4(2x-1)=6x+1 \iff 8x-4=6x+1 \iff 2x=5 \iff \boxed{x=\dfrac{5}{2}}$

Bilan. Sur ces huit équations, trois n'ont aucune solution, trois en ont une infinité, et trois admettent une unique solution — dont deux fractionnaires. Il ne faut donc pas conclure trop vite : ce n'est pas parce qu'une équation ressemble à un cas particulier qu'elle en est un.