Exercice 28

1. En notant $x$ la quantité cherchée, son septième vaut $\dfrac{x}{7}$ : $$\boxed{x+\frac{x}{7}=19}$$

2. On multiplie les deux membres par $7$ : $$7x+x=133 \iff 8x=133 \iff \boxed{x=\frac{133}{8}=16{,}625}$$

3. La valeur d'essai $7$ donne $7+1=8$ au lieu de $19$. En la multipliant par $\dfrac{19}{8}$ : $$7\times\frac{19}{8}=\frac{133}{8}$$

4. Méthode moderne : $x+\dfrac{x}{5}=24$. En multipliant par $5$ : $$5x+x=120 \iff 6x=120 \iff \boxed{x=20}$$ Méthode d'Ahmès : l'essai $5$ donne $5+1=6$ au lieu de $24$. Comme $6$ doit devenir $24$, on multiplie par $\dfrac{24}{6}=4$, ce qui donne $5\times 4=20$. Même résultat.

5. Méthode moderne : $x+\dfrac{x}{7}+3=19 \iff \dfrac{8x}{7}=16 \iff 8x=112 \iff \boxed{x=14}$.

Méthode d'Ahmès : l'essai $7$ donne $7+1+3=11$ au lieu de $19$, d'où la valeur $7\times\dfrac{19}{11}=\dfrac{133}{11}\approx 12{,}09$, qui est fausse.

Pourquoi la méthode échoue-t-elle ? Elle repose sur une idée de proportionnalité : si l'on double la quantité d'essai, on double le résultat. C'est vrai pour $x+\frac{x}{7}$, mais plus du tout dès que l'on ajoute la constante $3$, qui, elle, ne double pas. La fausse position ne fonctionne donc que pour les situations proportionnelles — et c'est bien pourquoi il a fallu inventer une méthode générale.