Exercice 1

1. On observe l'angle formé par les deux axes, puis les longueurs $OI$ et $OJ$.

• Repère n$^{\circ}1$ : les axes ne sont pas perpendiculaires, le repère est $\boxed{\text{quelconque}}$.

• Repère n$^{\circ}2$ : les axes sont perpendiculaires, mais $OI$ est visiblement plus grand que $OJ$ : le repère est $\boxed{\text{orthogonal}}$ sans être orthonormé.

• Repère n$^{\circ}3$ : les axes sont perpendiculaires et $OI=OJ$ : le repère est $\boxed{\text{orthonormé}}$.

2. La formule du milieu ne fait intervenir ni longueur ni angle : elle reste valable quel que soit le repère. $$\boxed{\text{Elle s'applique dans les trois repères.}}$$

3. La formule de la distance repose sur le théorème de Pythagore, donc sur la présence d'un angle droit entre les axes, et sur le fait que la même unité serve dans les deux directions. $$\boxed{\text{Elle ne s'applique que dans le repère n}^{\circ}3.}$$ Attention : le repère n$^{\circ}2$ possède bien un angle droit, mais les deux unités diffèrent : la formule y serait fausse.

4. Ces trois points ne se calculent pas, ils sont fixés par la définition même du repère : $$\boxed{O(0\,;0) \qquad I(1\,;0) \qquad J(0\,;1)}$$ et ce, dans chacun des trois repères.