Exercice 3

1. Les deux axes sont perpendiculaires : le repère est orthogonal. En revanche, la longueur $OI$ est bien plus grande que la longueur $OJ$ : l'unité n'est pas la même sur les deux axes. $$\boxed{\text{Le repère est orthogonal, mais il n'est pas orthonormé.}}$$

2. On compte les graduations portées sur chaque axe, sans tenir compte de la forme des rectangles du quadrillage :

• $A(2\,;3)$

• $B(-1\,;5)$

• $C(3\,;-2)$

• $D(0\,;4)$

• $E(-3\,;-4)$

• $F(4\,;1)$

3. La formule du milieu est valable dans tout repère, donc ici aussi : $$\text{milieu de } [AC] : \left(\dfrac{2+3}{2}\,;\dfrac{3+(-2)}{2}\right) =\boxed{(2{,}5\,;0{,}5)}$$

4. La formule $\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}$ se démontre avec le théorème de Pythagore, appliqué à un triangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $|x_{B}-x_{A}|$ et $|y_{B}-y_{A}|$. Or ces deux nombres ne peuvent être comparés que si l'unité est la même sur les deux axes, ce qui n'est pas le cas ici : $1$ unité d'abscisse et $1$ unité d'ordonnée ne représentent pas la même longueur. $$\boxed{\text{Le calcul additionne des longueurs mesurées avec deux étalons différents : il n'a aucun sens.}}$$