Exercice 5

1. Les trois points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés : ils forment donc un repère. Les droites $(AB)$ et $(AC)$ n'étant pas perpendiculaires, $$\boxed{\text{le repère } \left(A\,;B,C\right) \text{ est quelconque.}}$$

2. On compte les mailles du pavage : le premier nombre en suivant la direction $(AB)$, le second en suivant la direction $(AC)$.

• $D(4\,;0)$

• $E(2\,;1)$

• $P(3\,;1)$

• $Q(2\,;2)$

• $V(3\,;2)$

• $R(4\,;3)$

• $S(0\,;3)$

• $T(1\,;2)$

• $U(3\,;3)$

3. Milieu de $[DS]$ : $\left(\dfrac{4+0}{2}\,;\dfrac{0+3}{2}\right)=\boxed{(2\,;1{,}5)}$

4. L'origine est maintenant $E$, et les deux unités sont $\vphantom{)}EP$ et $EQ$, qui correspondent exactement aux mêmes déplacements qu'avant. Il suffit donc de retrancher les coordonnées de $E$, soit $(2\,;1)$, à celles de chaque point :

• $A(-2\,;-1)$

• $B(-1\,;-1)$

• $C(-2\,;0)$

• $D(2\,;-1)$

• $R(2\,;2)$

• $S(-2\,;2)$

5. Le point de coordonnées $(1\,;1)$ dans ce repère s'obtient en partant de $E$, en avançant d'une maille dans la direction $EP$ puis d'une maille dans la direction $EQ$ : $$\boxed{\text{c'est le point } V.}$$

6. Les coordonnées ont changé, mais aucun point n'a bougé. $$\boxed{\begin{array}{l} \text{les coordonnées décrivent la position d'un point \emph{relativement à un repère},}\\[1mm] \text{et non le point lui-même.} \end{array}}$$ Le point $S$ est toujours au même endroit du pavage : il s'appelle $(0\,;3)$ dans le premier repère et $(-2\,;2)$ dans le second.