Exercice 6

1. Les points $O$, $A$ et $B$ ne sont pas alignés, donc $\left(O\,;A,B\right)$ est un repère. Dans un hexagone régulier, l'angle $\widehat{AOB}$ mesure $60^{\circ}$ et non $90^{\circ}$ : $$\boxed{\text{le repère n'est pas orthonormé ; il est quelconque.}}$$ On notera cependant que $OA=OB$, puisque tous les rayons de l'hexagone sont égaux : c'est l'angle, et lui seul, qui empêche le repère d'être orthonormé.

2. Par définition du repère : $\boxed{O(0\,;0) \qquad A(1\,;0) \qquad B(0\,;1)}$

3. On lit sur le quadrillage : $$\boxed{C(-1\,;1) \qquad D(-1\,;0) \qquad E(0\,;-1) \qquad F(1\,;-1)}$$ Vérification par la symétrie : $D$ est diamétralement opposé à $A$, et l'on trouve bien des coordonnées opposées ; de même pour $E$ et $B$, ainsi que pour $C$ et $F$.

4. Milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{1+0}{2}\,;\dfrac{0+1}{2}\right)=\boxed{(0{,}5\,;0{,}5)}$

Milieu de $[CF]$ : $\left(\dfrac{-1+1}{2}\,;\dfrac{1+(-1)}{2}\right)=\boxed{(0\,;0)}$

Ce dernier milieu est le point $O$ lui-même : $\boxed{[CF] \text{ est une grande diagonale de l'hexagone.}}$

5. Milieu de $[BE]$ : $\left(\dfrac{0+0}{2}\,;\dfrac{1+(-1)}{2}\right)=(0\,;0)=O$

Milieu de $[AD]$ : $\left(\dfrac{1+(-1)}{2}\,;\dfrac{0+0}{2}\right)=(0\,;0)=O$ $$\boxed{\text{Les trois grandes diagonales } [AD],\ [BE] \text{ et } [CF] \text{ ont le même milieu } O.}$$ Elles se coupent donc toutes en $O$, qui est le centre de symétrie de l'hexagone.

6. Les diagonales du quadrilatère $ABCO$ sont $[AC]$ et $[BO]$ : $$\text{milieu de } [AC] : \left(\dfrac{1+(-1)}{2}\,;\dfrac{0+1}{2}\right)=(0\,;0{,}5)$$

$$\text{milieu de } [BO] : \left(\dfrac{0+0}{2}\,;\dfrac{1+0}{2}\right)=(0\,;0{,}5)$$ Les deux milieux coïncident : $\boxed{ABCO \text{ est un parallélogramme.}}$