Exercice 7

Partie A

1. Les points $A$, $I$ et $L$ ne sont pas alignés : $\left(A\,;I,L\right)$ est bien un repère. Les droites $(AI)$ et $(AL)$ portent deux côtés du rectangle : elles sont perpendiculaires, donc le repère est orthogonal. En revanche : $$AI=\dfrac{AB}{2}=4 \text{ cm} \qquad\text{et}\qquad AL=\dfrac{AD}{2}=2 \text{ cm}$$

2. Dans ce repère, une unité d'abscisse vaut $AI$ et une unité d'ordonnée vaut $AL$ :

• $A(0\,;0)$

• $I(1\,;0)$

• $B(2\,;0)$

• $J(2\,;1)$

• $C(2\,;2)$

• $K(1\,;2)$

• $D(0\,;2)$

• $L(0\,;1)$

• $O(1\,;1)$

3. Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{0+2}{2}\,;\dfrac{0+2}{2}\right)=(1\,;1)$

Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{2+0}{2}\,;\dfrac{0+2}{2}\right)=(1\,;1)$ $$\boxed{\text{Ces deux milieux sont le point } O \text{ : les diagonales du rectangle se coupent en leur milieu.}}$$

4. Le repère n'est pas orthonormé : la formule de la distance ne s'y applique pas. Le calcul proposé additionne deux unités de longueurs différentes ($4$ cm et $2$ cm), et ne peut donc rien donner de correct. $$\boxed{\text{En réalité } AC=4\sqrt{5}\approx 8{,}9 \text{ cm, et non } 2\sqrt{2}\approx 2{,}8.}$$

Partie B

5. L'unité vaut maintenant $1$ cm sur les deux axes :

• $A(0\,;0)$

• $I(4\,;0)$

• $B(8\,;0)$

• $J(8\,;2)$

• $C(8\,;4)$

• $K(4\,;4)$

• $D(0\,;4)$

• $L(0\,;2)$

• $O(4\,;2)$

6. Le repère étant orthonormé, on peut enfin appliquer la formule : $$AC=\sqrt{(8-0)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=\boxed{4\sqrt{5}\approx 8{,}9 \text{ cm}}$$

7. On calcule les quatre côtés du quadrilatère $IJKL$ : $$IJ=\sqrt{(8-4)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{20} \qquad JK=\sqrt{(4-8)^{2}+(4-2)^{2}}=\sqrt{20}$$

$$KL=\sqrt{(0-4)^{2}+(2-4)^{2}}=\sqrt{20} \qquad LI=\sqrt{(4-0)^{2}+(0-2)^{2}}=\sqrt{20}$$ Les quatre côtés ont la même longueur : $$\boxed{IJKL \text{ est un losange.}}$$