Exercice 12

1. Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{-2+3}{2}\,;\dfrac{1+0}{2}\right)=(0{,}5\,;0{,}5)$.

Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{1+0}{2}\,;\dfrac{3-2}{2}\right)=(0{,}5\,;0{,}5)$.

Les deux milieux coïncident : $\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme.}}$

2. Milieu de $[AC]$ : $(3\,;1)$ ; milieu de $[BD]$ : $(3\,;2)$.

Les deux milieux diffèrent : $\boxed{ABCD \text{ n'est pas un parallélogramme.}}$

3. Le milieu de $[AC]$ vaut $\left(\dfrac{-1+4}{2}\,;\dfrac{3+1}{2}\right)=(1{,}5\,;2)$. Il doit être aussi le milieu de $[BD]$ : $$\frac{2+x_{D}}{2}=1{,}5 \iff x_{D}=1 \qquad ; \qquad \frac{5+y_{D}}{2}=2 \iff y_{D}=-1$$

4. Pour $ABEC$, les diagonales sont $[AE]$ et $[BC]$. Le milieu de $[BC]$ vaut $(3\,;3)$, d'où $E=\boxed{(7\,;3)}$.

Pour $AFBC$, les diagonales sont $[AB]$ et $[FC]$. Le milieu de $[AB]$ vaut $(0{,}5\,;4)$, d'où $F=\boxed{(-3\,;7)}$.

5. Trois points non alignés étant donnés, chacun des trois peut jouer le rôle du sommet « opposé » au quatrième : $$\boxed{\text{il existe exactement } 3 \text{ points possibles.}}$$ Ici ce sont $D(1\,;-1)$, $E(7\,;3)$ et $F(-3\,;7)$.