ExerciceSeconde, chapitre 5 — Géométrie cartésienne · Milieu d'un segment

Exercice 13

DémonstrationCalcul

Le plan est muni d'un repère. On donne les points $A(-4\,;2) \qquad B(2\,;6) \qquad C(6\,;-2) \qquad D(2\,;-4)$

1. Déterminer les coordonnées des milieux $I$ de $[AB]$ , $J$ de $[BC]$ , $K$ de $[CD]$ et $L$ de $[DA]$ .

2. Le quadrilatère $ABCD$ est-il un parallélogramme ?

3. Le quadrilatère $IJKL$ est-il un parallélogramme ? Justifier à l'aide du critère des diagonales.

4. Ce résultat vous semble-t-il dépendre du choix des quatre points de départ ?

Corrigé

1. $I=\left(\dfrac{-4+2}{2}\,;\dfrac{2+6}{2}\right)=\boxed{(-1\,;4)}$ $J=\left(\dfrac{2+6}{2}\,;\dfrac{6-2}{2}\right)=\boxed{(4\,;2)}$

$K=\left(\dfrac{6+2}{2}\,;\dfrac{-2-4}{2}\right)=\boxed{(4\,;-3)}$ $L=\left(\dfrac{2-4}{2}\,;\dfrac{-4+2}{2}\right)=\boxed{(-1\,;-1)}$

2. Milieu de $[AC]$ : $(1\,;0)$  ; milieu de $[BD]$ : $(2\,;1)$ . Les deux milieux sont différents : $\boxed{ABCD \text{ n'est pas un parallélogramme.}}$

3. Milieu de $[IK]$ : $\left(\dfrac{-1+4}{2}\,;\dfrac{4-3}{2}\right)=(1{,}5\,;0{,}5)$ .

Milieu de $[JL]$ : $\left(\dfrac{4-1}{2}\,;\dfrac{2-1}{2}\right)=(1{,}5\,;0{,}5)$ . $\boxed{IJKL \text{ est un parallélogramme.}}$

4. Non, le résultat ne dépend pas des points choisis. C'est un théorème général : en joignant les milieux des côtés d'un quadrilatère quelconque, on obtient toujours un parallélogramme. L'exemple est d'ailleurs frappant ici, puisque le quadrilatère de départ, lui, n'en était pas un.

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Dans l'édifice

Espaces vectoriels et sous-espaces

Thèmes

repères, coordonnées, milieu, quadrilatères

Notions

couple