Exercice 14

1. Les points $C$, $I$ et $B$ ne sont pas alignés : c'est bien un repère. Les droites $(CI)$ et $(CB)$ portent deux côtés du carré $CBKJ$, elles sont donc perpendiculaires : le repère est orthogonal. En revanche, les codages montrent que $$CI=CJ+JI=2\times DC \qquad\text{alors que}\qquad CB=DC$$

2. Une unité d'abscisse vaut $CI$, soit deux côtés de carré, tandis qu'une unité d'ordonnée vaut $CB$, soit un côté. Les abscisses comportent donc des demis :

• $A(-0{,}5\,;1)$

• $B(0\,;1)$

• $C(0\,;0)$

• $D(-0{,}5\,;0)$

• $E(-1{,}5\,;0)$

• $F(-0{,}5\,;-1)$

• $G(0{,}5\,;-1)$

• $H(1{,}5\,;0)$

• $I(1\,;0)$

• $J(0{,}5\,;0)$

• $K(0{,}5\,;1)$

Comment obtient-on $E$ et $H$ ? Les codages donnent $CJ=JI=IH=DC$, donc $CH$ vaut trois côtés de carré, soit $1{,}5$ unité. Et comme $(BC)$ est un axe de symétrie, $E$ est le symétrique de $H$, d'où $E(-1{,}5\,;0)$.

3. $M=\left(\dfrac{-1{,}5+(-0{,}5)}{2}\,;\dfrac{0+(-1)}{2}\right)=\boxed{(-1\,;-0{,}5)}$

4. $N=\left(\dfrac{0{,}5+1{,}5}{2}\,;\dfrac{-1+0}{2}\right)=\boxed{(1\,;-0{,}5)}$

5. Les points $M(-1\,;-0{,}5)$ et $N(1\,;-0{,}5)$ ont des abscisses opposées et la même ordonnée.

L'axe $(BC)$ étant l'axe des ordonnées du repère, cela signifie exactement que $M$ et $N$ sont symétriques par rapport à lui. $$\boxed{\text{Deux points symétriques par rapport à } (BC) \text{ ont des abscisses opposées et la même ordonnée.}}$$

6. Non. La formule de la distance exige un repère orthonormé, or celui-ci ne l'est pas : les unités diffèrent sur les deux axes. $$\boxed{\text{Le calcul est interdit dans ce repère.}}$$ On peut cependant conclure autrement : $EH$ vaut six côtés de carré, d'après les codages et la symétrie.