Exercice 28

1. $MA^{2}=(0-m)^{2}+(0-3)^{2}=\boxed{m^{2}+9}$

$MB^{2}=(4-m)^{2}+(0-3)^{2}=16-8m+m^{2}+9=\boxed{m^{2}-8m+25}$

2. Le triangle est isocèle en $M$ si et seulement si $MA=MB$, c'est-à-dire $MA^{2}=MB^{2}$ : $$m^{2}+9=m^{2}-8m+25 \iff 9=-8m+25 \iff 8m=16 \iff \boxed{m=2}$$ Interprétation : $M$ est alors à l'aplomb du milieu de $[AB]$, ce qui est bien la position attendue.

3. $MA=5$ équivaut à $MA^{2}=25$, soit $$m^{2}+9=25 \iff m^{2}=16 \iff \boxed{m=4 \text{ ou } m=-4}$$ Il y a bien deux solutions : deux points de la droite d'ordonnée $3$ sont à distance $5$ de l'origine.

4. Le triangle est rectangle en $A$ si et seulement si $AM^{2}+AB^{2}=MB^{2}$. Comme $AB^{2}=16$ : $$m^{2}+9+16=m^{2}-8m+25 \iff 25=-8m+25 \iff \boxed{m=0}$$ Le point $M(0\,;3)$ est alors situé à la verticale de $A$, ce qui donne bien un angle droit en $A$.

5. (a) Le triangle est rectangle en $M$ si et seulement si $MA^{2}+MB^{2}=AB^{2}$ : $$m^{2}+9+m^{2}-8m+25=16 \iff 2m^{2}-8m+34=16 \iff 2m^{2}-8m+18=0$$ et en divisant par $2$ : $$\boxed{m^{2}-4m+9=0}$$

(b) On développe le membre de droite : $$(m-2)^{2}+5=m^{2}-4m+4+5=m^{2}-4m+9$$ L'égalité est bien vérifiée.

(c) Un carré étant toujours positif ou nul, on a $(m-2)^{2}+5\geqslant 5>0$ pour tout réel $m$ : l'équation $m^{2}-4m+9=0$ n'a donc aucune solution. $$\boxed{\text{Il n'existe aucune valeur de } m \text{ pour laquelle } ABM \text{ est rectangle en } M.}$$ Interprétation géométrique : un tel point $M$ devrait se trouver sur le cercle de diamètre $[AB]$, dont le rayon vaut $2$ et le centre $(2\,;0)$. Or ce cercle ne monte pas au-dessus de l'ordonnée $2$, tandis que $M$ est toujours à l'ordonnée $3$.