Exercice 27

1. $I=\boxed{(4\,;0)}$ $J=\boxed{(8\,;2)}$ $K=\boxed{(4\,;4)}$ $L=\boxed{(0\,;2)}$

2. $IJ=\sqrt{(8-4)^{2}+(2-0)^{2}}=\sqrt{20}$, et de même $$JK=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \qquad KL=\sqrt{16+4}=\sqrt{20} \qquad LI=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$$ Les quatre côtés ont la même longueur : $\boxed{IJKL \text{ est un losange.}}$

3. $IK=\sqrt{0+16}=4$ et $JL=\sqrt{64+0}=8$.

Les diagonales n'ont pas la même longueur : $$\boxed{IJKL \text{ n'est pas un carré.}}$$

4. $\boxed{IJKL \text{ est un losange non carré.}}$

5. Avec le carré $A(0\,;0)$, $B(6\,;0)$, $C(6\,;6)$, $D(0\,;6)$, on obtient $$I(3\,;0) \qquad J(6\,;3) \qquad K(3\,;6) \qquad L(0\,;3)$$ Les quatre côtés valent $\sqrt{9+9}=\sqrt{18}$, et les diagonales $IK=6$ et $JL=6$ sont égales : $$\boxed{IJKL \text{ est alors un carré.}}$$ Conclusion générale : en joignant les milieux des côtés d'un rectangle on obtient un losange, et si le rectangle est un carré, ce losange est lui-même un carré.