ExerciceSeconde, chapitre 5 — Géométrie cartésienne · Exercices de synthèse

Exercice 26

Démonstration

Le plan est muni d'un repère orthonormé $\left(O\,;I,J\right)$ . On considère les points $A(4\,;0)$ et $B(0\,;2)$ . On note $\Delta$ la médiatrice du segment $[IA]$ . La perpendiculaire à l'axe des ordonnées passant par $B$ coupe la droite $\Delta$ en un point noté $H$ .

1. Faire une figure représentant le repère, les points $A$ et $B$ , puis la droite $\Delta$ et le point $H$ . On prendra un repère allant de $-3$ à $5$ en abscisse et de $-3$ à $3$ en ordonnée.

2. Déterminer, en justifiant, les coordonnées du point $H$ .

On rappelle que la médiatrice d'un segment lui est perpendiculaire et passe par son milieu.

3. On note $\mathcal{C}$ le cercle de centre $H$ passant par $I$ . Démontrer que le point $A$ appartient à $\mathcal{C}$ .

4. Démontrer que l'axe des ordonnées est tangent en $B$ au cercle $\mathcal{C}$ , c'est-à-dire qu'il coupe $\mathcal{C}$ en $B$ et qu'il est perpendiculaire au rayon $[HB]$ en ce point.

5. Placer les points $D(-2\,;0)$ et $E(2\,;-2)$ sur la figure, puis démontrer que $ABDE$ est un parallélogramme.

6. Le quadrilatère $ABDE$ est-il un losange ? Justifier par un calcul de longueurs.

Corrigé

1. Voici la figure complète.

2. La médiatrice de $[IA]$ est perpendiculaire à $(IA)$ et passe par le milieu de $[IA]$ . Comme $I(1\,;0)$ et $A(4\,;0)$ sont tous deux sur l'axe des abscisses, ce milieu vaut $\left(\dfrac{1+4}{2}\,;0\right)=(2{,}5\,;0)$ , et $\Delta$ est la droite verticale passant par ce point : tous ses points ont pour abscisse $2{,}5$ .

La perpendiculaire à l'axe des ordonnées passant par $B(0\,;2)$ est la droite horizontale d'ordonnée $2$ . Le point $H$ appartient aux deux : $\boxed{H(2{,}5\,;2)}$

3. Le rayon du cercle est $HI$ . On calcule les deux distances : $HI^{2}=(1-2{,}5)^{2}+(0-2)^{2}=2{,}25+4=6{,}25 \qquad\text{donc}\qquad HI=2{,}5$

HA^{2}=(4-2{,}5)^{2}+(0-2)^{2}=2{,}25+4=6{,}25 \qquad\text{donc}\qquad HA=2{,}5

$\boxed{HA=HI \text{ : le point } A \text{ appartient au cercle } \mathcal{C}.}$ C'était prévisible : $H$ est sur la médiatrice de $[IA]$ , donc équidistant de $I$ et de $A$ .

4. $B$ appartient au cercle : $HB^{2}=(0-2{,}5)^{2}+(2-2)^{2}=6{,}25 \qquad\text{donc}\qquad HB=2{,}5=\text{rayon}$

Le rayon $[HB]$ est perpendiculaire à l'axe des ordonnées : les points $H(2{,}5\,;2)$ et $B(0\,;2)$ ont la même ordonnée, donc $[HB]$ est horizontal, tandis que l'axe des ordonnées est vertical. $\boxed{\text{L'axe des ordonnées est tangent au cercle } \mathcal{C} \text{ au point } B.}$

5. Les diagonales de $ABDE$ sont $[AD]$ et $[BE]$ : $\text{milieu de } [AD] : \left(\dfrac{4-2}{2}\,;\dfrac{0+0}{2}\right)=(1\,;0)$

\text{milieu de } [BE] : \left(\dfrac{0+2}{2}\,;\dfrac{2-2}{2}\right)=(1\,;0)

\boxed{ABDE \text{ est un parallélogramme, de centre } I.}

6. $AB^{2}=(0-4)^{2}+(2-0)^{2}=16+4=20$ et $BD^{2}=(-2-0)^{2}+(0-2)^{2}=4+4=8$ . $\boxed{20\neq 8 \text{ : } ABDE \text{ n'est pas un losange.}}$

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Thèmes

repères, coordonnées, milieu, distance, quadrilatères, cercle et médiatrice

Notions

couple, norme