Exercice 25

1. $I=\left(\dfrac{1+5}{2}\,;\dfrac{2+4}{2}\right)=\boxed{(3\,;3)}$ et $AB=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=\boxed{2\sqrt{5}}$

2. $CA^{2}=(1-6)^{2}+(2+1)^{2}=25+9=34$ et $CB^{2}=(5-6)^{2}+(4+1)^{2}=1+25=26$. $$\boxed{34\neq 26 \text{ : le point } C \text{ n'est pas équidistant de } A \text{ et } B.}$$

3. $DA^{2}=(1-4)^{2}+(2-1)^{2}=9+1=10$ et $DB^{2}=(5-4)^{2}+(4-1)^{2}=1+9=10$. $$\boxed{DA=DB=\sqrt{10} \text{ : le point } D \text{ est bien équidistant de } A \text{ et } B.}$$

4. Un point de l'axe des abscisses s'écrit $M(x\,;0)$. On écrit $MA^{2}=MB^{2}$ : $$(x-1)^{2}+4=(x-5)^{2}+16 \iff x^{2}-2x+1+4=x^{2}-10x+25+16$$

5. Les points $I$ et $D$ sont tous deux équidistants de $A$ et de $B$ — $I$ parce qu'il est le milieu de $[AB]$, $D$ d'après la question 3. $$\boxed{(ID) \text{ est la médiatrice du segment } [AB].}$$ On remarque que le point trouvé à la question 4 est lui aussi sur cette droite : les points équidistants de $A$ et $B$ forment bien une droite entière, et non quelques points isolés.