Exercice 24

1. Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{-3+5}{2}\,;\dfrac{1-1}{2}\right)=(1\,;0)$.

Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{1+1}{2}\,;\dfrac{3-3}{2}\right)=(1\,;0)$.

Les deux diagonales ont le même milieu : $$\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme, de centre } (1\,;0).}$$

2. $AB=\sqrt{(1+3)^{2}+(3-1)^{2}}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

$BC=\sqrt{(5-1)^{2}+(-1-3)^{2}}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$

Ces deux côtés consécutifs sont de longueurs différentes : $$\boxed{ABCD \text{ n'est pas un losange.}}$$

3. $AC=\sqrt{64+4}=\sqrt{68}$ et $BD=\sqrt{0+36}=6$.

Or $\sqrt{68}\neq 6$ (puisque $6^{2}=36\neq 68$) : $$\boxed{ABCD \text{ n'est pas un rectangle.}}$$

4. $\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme quelconque.}}$

5. Dans un parallélogramme, les côtés opposés ont la même longueur : $$\mathcal{P}=2\left(AB+BC\right)=2\left(2\sqrt{5}+4\sqrt{2}\right) =\boxed{4\sqrt{5}+8\sqrt{2}\approx 20{,}3}$$

6. Si $B$ était le milieu de $[AE]$, on aurait $\dfrac{-3+9}{2}=3$, or l'abscisse de $B$ vaut $1$ et non $3$. $$\boxed{\text{Non, } B \text{ n'est pas le milieu de } [AE].}$$