Exercice 29

1. Milieu de $[AC]$ : $\left(\dfrac{0+4}{2}\,;\dfrac{0+7}{2}\right)=(2\,;3{,}5)$.

Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{6-2}{2}\,;\dfrac{3+4}{2}\right)=(2\,;3{,}5)$. $$\boxed{ABCD \text{ est un parallélogramme.}}$$

2. $AB^{2}=36+9=45$, $BC^{2}=(4-6)^{2}+(7-3)^{2}=4+16=20$, $AC^{2}=16+49=65$.

Or $AB^{2}+BC^{2}=45+20=65=AC^{2}$ : $$\boxed{\text{d'après la réciproque du théorème de Pythagore, } ABC \text{ est rectangle en } B.}$$

3. Un parallélogramme possédant un angle droit est un rectangle : $$\boxed{ABCD \text{ est un rectangle.}}$$

4. $AC=\sqrt{65}$ et $BD=\sqrt{(-2-6)^{2}+(4-3)^{2}}=\sqrt{64+1}=\sqrt{65}$.

Les diagonales du parallélogramme sont égales, ce qui caractérise également le rectangle : on retrouve donc le même résultat par un autre chemin.

5. $AB=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$ et $BC=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. $$\mathcal{P}=2\left(3\sqrt{5}+2\sqrt{5}\right)=2\times 5\sqrt{5}=\boxed{10\sqrt{5}\approx 22{,}4}$$

$$\mathcal{A}=AB\times BC=3\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}=6\times 5=\boxed{30}$$ On remarque que l'aire tombe sur un entier, alors qu'aucun côté n'est entier.

6. Un carré est un rectangle dont deux côtés consécutifs sont égaux. Or $3\sqrt{5}\neq 2\sqrt{5}$ : $$\boxed{ABCD \text{ n'est pas un carré.}}$$

7. Le centre est le milieu commun des diagonales, soit $\Omega(2\,;3{,}5)$. On calcule : $$\Omega A^{2}=4+12{,}25=16{,}25 \qquad \Omega B^{2}=16+0{,}25=16{,}25$$

$$\Omega C^{2}=4+12{,}25=16{,}25 \qquad \Omega D^{2}=16+0{,}25=16{,}25$$ Les quatre distances sont égales à $\sqrt{16{,}25}=\dfrac{\sqrt{65}}{2}$ : $$\boxed{\Omega \text{ est équidistant des quatre sommets.}}$$ Propriété retrouvée : les quatre sommets d'un rectangle sont sur un même cercle, dont le centre est le point d'intersection des diagonales et le diamètre la longueur d'une diagonale.