Exercice 30

1. L'origine du repère est $A$, donc $A(0\,;0)$. Le point $B$ est sur l'axe des abscisses, à la distance $AB=c$ de l'origine : $$\boxed{A(0\,;0) \qquad B(c\,;0)}$$

2. $I$ est le milieu de $[AB]$ : $$I=\left(\frac{0+c}{2}\,;\frac{0+0}{2}\right)=\boxed{\left(\frac{c}{2}\,;0\right)}$$

3. Le repère étant orthonormé, on applique la formule de la distance entre $I\left(\frac{c}{2}\,;0\right)$ et $C\left(x_{C}\,;y_{C}\right)$ : $$L^{2}=IC^{2}=\left(x_{C}-\frac{c}{2}\right)^{2}+\left(y_{C}-0\right)^{2}$$ En développant l'identité remarquable : $$L^{2}=x_{C}^{2}-2\times x_{C}\times\frac{c}{2}+\frac{c^{2}}{4}+y_{C}^{2} =\boxed{x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-c\,x_{C}+\frac{c^{2}}{4}}$$

4. Longueur $a=BC$, entre $B(c\,;0)$ et $C\left(x_{C}\,;y_{C}\right)$ : $$a^{2}=\left(x_{C}-c\right)^{2}+y_{C}^{2}=\boxed{x_{C}^{2}-2c\,x_{C}+c^{2}+y_{C}^{2}}$$

Longueur $b=AC$, entre $A(0\,;0)$ et $C\left(x_{C}\,;y_{C}\right)$ : $$b^{2}=\boxed{x_{C}^{2}+y_{C}^{2}}$$

5. Partons du membre de droite de la formule d'Anselme et remplaçons : $$\frac{1}{4}\left(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}\right) =\frac{1}{4}\Big(2\left(x_{C}^{2}-2c\,x_{C}+c^{2}+y_{C}^{2}\right) +2\left(x_{C}^{2}+y_{C}^{2}\right)-c^{2}\Big)$$

$$=\frac{1}{4}\left(4x_{C}^{2}+4y_{C}^{2}-4c\,x_{C}+c^{2}\right) =x_{C}^{2}+y_{C}^{2}-c\,x_{C}+\frac{c^{2}}{4}$$ On reconnaît exactement l'expression de $L^{2}$ obtenue à la question 3 : $$\boxed{L^{2}=\frac{1}{4}\left(2a^{2}+2b^{2}-c^{2}\right)}$$ La formule du vieux livre est donc démontrée.

Ce qui a rendu la preuve possible : le choix du repère. En plaçant $A$ à l'origine et $B$ sur l'axe des abscisses, on n'a laissé que deux inconnues, $x_{C}$ et $y_{C}$, et celles-ci disparaissent d'elles-mêmes à la fin.

6. Avec $a=7$, $b=5$ et $c=8$ : $$L^{2}=\frac{1}{4}\left(2\times 49+2\times 25-64\right)=\frac{1}{4}\left(98+50-64\right) =\frac{84}{4}=21$$