Exercice 6

a) $2x-6=0$ pour $x=3$ : $\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{3\}}$

b) Il faut $3x-9\geqslant 0$, soit $3x\geqslant 9$, soit $x\geqslant 3$ : $\boxed{D_{f}=[3\,;+\infty[}$

c) Deux conditions cette fois : la racine impose $x\geqslant 0$, et le dénominateur impose $x\neq 1$. $$\boxed{D_{f}=[0\,;1[\;\cup\;]1\,;+\infty[}$$

d) Là encore deux conditions : $x\neq 0$ pour le quotient, et $x+2\geqslant 0$ soit $x\geqslant -2$ pour la racine. $$\boxed{D_{f}=[-2\,;0[\;\cup\;]0\,;+\infty[}$$

e) $x^{2}=0$ uniquement pour $x=0$ : $\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{0\}=\mathbb{R}^{*}}$

f) Le dénominateur est $x^{2}+1$. Or pour tout réel $x$, $x^{2}\geqslant 0$, donc $x^{2}+1\geqslant 1$ : le dénominateur est toujours strictement positif, il ne s'annule jamais. $$\boxed{D_{f}=\mathbb{R}}$$

g) Le produit $(x-2)(x+5)$ s'annule si $x=2$ ou si $x=-5$ : $\boxed{D_{f}=\mathbb{R}\setminus\{-5\,;2\}}$

h) La première racine impose $x\geqslant 0$, la seconde impose $-x\geqslant 0$, c'est-à-dire $x\leqslant 0$. Les deux conditions doivent être vérifiées en même temps : $$\boxed{D_{f}=\{0\}}$$ La fonction n'est définie qu'en un seul nombre, et l'on a $f(0)=\sqrt{0}+\sqrt{0}=0$. C'est inhabituel, mais parfaitement conforme à la définition : l'ensemble de définition n'est pas forcément un intervalle.