Exercice 7

1. En suivant les quatre étapes : $$7 \to 7-3=4 \to 4^{2}=16 \to 16+5=\boxed{21}$$

$$-1 \to -4 \to 16 \to \boxed{21} \qquad ; \qquad 0 \to -3 \to 9 \to \boxed{14}$$ On remarque déjà que $7$ et $-1$ donnent le même résultat.

2. En remplaçant le nombre choisi par $x$ : $$\boxed{f(x)=(x-3)^{2}+5}$$ Ni dénominateur ni racine carrée n'apparaissent : $\boxed{D_{f}=\mathbb{R}}$

3. On résout $f(x)=5$ : $$(x-3)^{2}+5=5 \iff (x-3)^{2}=0 \iff x-3=0 \iff \boxed{x=3}$$

4. On résout $f(x)=4$ : $$(x-3)^{2}+5=4 \iff (x-3)^{2}=-1$$ Or un carré est toujours positif, donc cette égalité est impossible : $$\boxed{4 \text{ n'admet aucun antécédent par } f}$$ Le résultat de la question 3 s'éclaire : comme $(x-3)^{2}\geqslant 0$, on a toujours $f(x)\geqslant 5$. Le nombre $5$ est donc le minimum de $f$ sur $\mathbb{R}$.

5. Le second programme donne $g(x)=x^{2}-6x+14$. On développe $f(x)$ : $$f(x)=(x-3)^{2}+5=x^{2}-2\times x\times 3+3^{2}+5=x^{2}-6x+9+5=x^{2}-6x+14=g(x)$$