Exercice 8

1. Une largeur est une longueur strictement positive, donc $x>0$. De plus le demi-périmètre vaut $10$ cm, donc largeur $+$ longueur $=10$ : la longueur vaut $10-x$. Comme la largeur ne dépasse pas la longueur, $x\leqslant 10-x$, c'est-à-dire $2x\leqslant 10$, soit $x\leqslant 5$. $$\boxed{x\in\left]0\,;5\right]}$$

2. $$\boxed{\text{longueur}=10-x}$$

3. L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur : $$\boxed{\mathcal{A}(x)=x(10-x)}$$

4. $$\mathcal{A}(2)=2\times 8=\boxed{16} \qquad ; \qquad \mathcal{A}(5)=5\times 5=\boxed{25} \qquad ; \qquad \mathcal{A}(4)=4\times 6=\boxed{24}$$

5.

Les valeurs augmentent régulièrement jusqu'à la dernière colonne : $$\boxed{\text{L'aire semble maximale pour } x=5, \text{ et vaut alors } 25 \text{ cm}^{2}}$$ La largeur vaut alors $5$ cm et la longueur $10-5=5$ cm : $$\boxed{\text{le rectangle d'aire maximale est un carré de côté } 5 \text{ cm}}$$