Exercice 12

1. On cherche les points de $\mathcal{C}_f$ d'ordonnée donnée : $$\boxed{f(x)=0 : S=\{-1\,;3\}} \qquad \boxed{f(x)=5 : S=\{-2\,;4\}} \qquad \boxed{f(x)=-5 : S=\varnothing}$$ Pour la dernière, la courbe ne descend jamais en dessous de $-4$.

2. Résoudre $f(x)=g(x)$, c'est chercher les abscisses des points où la courbe et la droite se coupent. On lit deux points d'intersection, d'abscisses $0$ et $3$ : $$\boxed{S=\{0\,;3\}}$$

3. On compte les points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale d'ordonnée $k$ : $$\boxed{\begin{array}{l} k=-4 : 1 \text{ solution} \quad \text{(le sommet de la courbe)} \\[1mm] k=-3 : 2 \text{ solutions} \\[1mm] k=2 : 2 \text{ solutions} \end{array}}$$

4. On résout l'équation $f(x)=g(x)$ : $$\begin{aligned} x^{2}-2x-3=x-3 &\iff x^{2}-2x-3-x+3=0 \\ &\iff x^{2}-3x=0 \\ &\iff x(x-3)=0 \end{aligned}$$ Par produit nul, $x=0$ ou $x=3$ : $$\boxed{S=\{0\,;3\}}$$ Le calcul confirme la lecture graphique. On notera qu'il ne fallait surtout pas simplifier par $x$ : on aurait perdu la solution $x=0$.