Exercice 13

1. En parcourant la courbe de la gauche vers la droite, on observe qu'elle monte, puis descend, puis remonte : $$\boxed{g \text{ est croissante sur } [-2\,;-1] \text{ et sur } [1\,;2], \text{ décroissante sur } [-1\,;1]}$$

2.

3. Le point le plus haut de la courbe a pour ordonnée $2$, et il y en a deux : celui d'abscisse $-1$ et celui d'abscisse $2$. $$\boxed{\text{Maximum : } 2, \text{ atteint pour } x=-1 \text{ et pour } x=2}$$ De même, le point le plus bas a pour ordonnée $-2$, atteint deux fois : $$\boxed{\text{Minimum : } -2, \text{ atteint pour } x=-2 \text{ et pour } x=1}$$ Un extremum est une ordonnée : rien n'interdit qu'il soit atteint en plusieurs abscisses.

4. La courbe coupe l'axe des abscisses en trois points : $$\boxed{L'\text{équation } g(x)=0 \text{ admet } 3 \text{ solutions sur } [-2\,;2]}$$ Leurs valeurs approchées sont environ $-1{,}7$, $0$ et $1{,}7$.

5. On fait glisser la droite horizontale d'ordonnée $k$ et l'on compte les intersections. Comme $g$ varie entre $-2$ et $2$ : $$\boxed{\begin{array}{ll} \text{si } k<-2 \text{ ou } k>2 & : \; \text{aucune solution} \\[1mm] \text{si } k=-2 \text{ ou } k=2 & : \; 2 \text{ solutions} \\[1mm] \text{si } -2<k<2 & : \; 3 \text{ solutions} \end{array}}$$