Exercice 14

1. Les flèches montantes indiquent la croissance : $$\boxed{f \text{ est croissante sur } [2\,;4], \text{ décroissante sur } [-5\,;2] \text{ et sur } [4\,;10]}$$

2. Les nombres inscrits aux extrémités des flèches sont les images des bornes : $$\boxed{f(-5)=8 \quad ; \quad f(2)=1 \quad ; \quad f(4)=9 \quad ; \quad f(10)=3}$$

3. Les réels $3$ et $4$ appartiennent tous deux à $[2\,;4]$, où $f$ est croissante. Comme $3\leqslant 4$, l'ordre est conservé : $$\boxed{f(3)\leqslant f(4)}, \text{ c'est-à-dire } f(3)\leqslant 9$$ Les réels $0$ et $1$ appartiennent à $[-5\,;2]$, où $f$ est décroissante. Comme $0\leqslant 1$, l'ordre est inversé : $$\boxed{f(0)\geqslant f(1)}$$

4. Non. Les réels $0$ et $6$ n'appartiennent pas au même intervalle de monotonie : le tableau ne donne aucune information sur la façon dont leurs images se comparent. $$\boxed{\text{On ne peut pas comparer } f(0) \text{ et } f(6)}$$ Tout au plus peut-on encadrer chacune : $1\leqslant f(0)\leqslant 8$ et $3\leqslant f(6)\leqslant 9$, ce qui ne permet pas de trancher.

5. En comparant les quatre valeurs inscrites dans le tableau : $$\boxed{\text{Maximum : } 9, \text{ atteint pour } x=4} \qquad ; \qquad \boxed{\text{Minimum : } 1, \text{ atteint pour } x=2}$$

6. On examine chacun des trois intervalles de monotonie :

• sur $[-5\,;2]$, $f$ décroît de $8$ à $1$, et $5$ est compris entre $1$ et $8$ : une solution ;

• sur $[2\,;4]$, $f$ croît de $1$ à $9$, et $5$ est compris entre $1$ et $9$ : une solution ;

• sur $[4\,;10]$, $f$ décroît de $9$ à $3$, et $5$ est compris entre $3$ et $9$ : une solution.