Exercice 15

1. Dire que le maximum vaut $11$ et qu'il est atteint pour $x=4$ signifie deux choses : $u(4)=11$, et $u(x)\leqslant 11$ pour tout $x$ de $[0\,;6]$. $$\boxed{\text{Les affirmations correctes sont b) et c)}}$$ L'affirmation a) inverse l'abscisse et l'ordonnée. L'affirmation d) confond la valeur du maximum avec l'abscisse en laquelle il est atteint : un extremum est toujours une ordonnée.

2. Pour tout réel $x$, on sait que $x^{2}\geqslant 0$. En ajoutant $2$ aux deux membres : $$x^{2}+2\geqslant 2 \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad v(x)\geqslant 2$$ De plus $v(0)=0^{2}+2=2$, et $0$ appartient bien à $[-3\,;3]$ : la valeur $2$ est donc effectivement atteinte. $$\boxed{v \text{ admet pour minimum } 2 \text{ sur } [-3\,;3], \text{ atteint pour } x=0}$$

3. Pour tout réel $x$, $(x-2)^{2}\geqslant 0$, donc $-(x-2)^{2}\leqslant 0$, et en ajoutant $5$ : $$5-(x-2)^{2}\leqslant 5 \qquad \text{c'est-à-dire} \qquad w(x)\leqslant 5$$ Or $w(2)=5-0=5$ : la valeur est atteinte. $$\boxed{w \text{ admet pour maximum } 5 \text{ sur } \mathbb{R}, \text{ atteint pour } x=2}$$ On notera le changement de sens de l'inégalité lorsqu'on multiplie par $-1$.

4. Non. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ et prend des valeurs aussi grandes que l'on veut : par exemple $10^{3}=1000$, $100^{3}=1\,000\,000$, et ainsi de suite. $$\boxed{\text{La fonction cube n'admet pas de maximum sur } \mathbb{R}}$$ Elle n'admet pas non plus de minimum, pour la même raison du côté des valeurs négatives.