Exercice 16

1. $f$ est croissante sur $[0\,;10]$ : elle conserve l'ordre. $$2\leqslant 7 \; \Longrightarrow \; \boxed{f(2)\leqslant f(7)} \qquad ; \qquad 0{,}5\leqslant 1 \; \Longrightarrow \; \boxed{f(0{,}5)\leqslant f(1)}$$

2. $g$ est décroissante sur $[-3\,;5]$ : elle inverse l'ordre. $$-1\leqslant 4 \; \Longrightarrow \; \boxed{g(-1)\geqslant g(4)} \qquad ; \qquad -2\leqslant 0 \; \Longrightarrow \; \boxed{g(-2)\geqslant g(0)}$$

3. Non : $-3$ appartient à $]-\infty\,;0]$ et $5$ à $[0\,;+\infty[$. Les deux réels ne sont pas dans le même intervalle de monotonie. $$\boxed{\text{On ne peut pas comparer } h(-3) \text{ et } h(5)}$$

4. (a) $0\leqslant 3{,}2\leqslant 3{,}3$ et la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $\boxed{3{,}2^{2}<3{,}3^{2}}$

(b) $-4$ et $-5$ sont négatifs, et la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$. Comme $-5\leqslant -4$ : $\boxed{(-5)^{2}>(-4)^{2}}$

On le vérifie : $25>16$. C'est le piège classique du carré des nombres négatifs.

(c) La fonction racine carrée est croissante et $5\leqslant 7$ : $\boxed{\sqrt{5}<\sqrt{7}}$

(d) $0<2{,}5<2{,}7$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : $\boxed{\dfrac{1}{2{,}5}>\dfrac{1}{2{,}7}}$

(e) $-4$ et $-3$ sont dans $]-\infty\,;0[$, où la fonction inverse est décroissante. Comme $-4\leqslant -3$ : $\boxed{\dfrac{1}{-4}>\dfrac{1}{-3}}$

On vérifie : $-0{,}25>-0{,}333\dots$

(f) La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ et $-1{,}2\leqslant -1{,}1$ : $\boxed{(-1{,}2)^{3}<(-1{,}1)^{3}}$