Exercice 17

1. (a) Soient $x_{1}\leqslant x_{2}$ deux réels. On calcule : $$f(x_{2})-f(x_{1})=(3x_{2}+2)-(3x_{1}+2)=3x_{2}-3x_{1}=3\left(x_{2}-x_{1}\right)$$ Comme $x_{1}\leqslant x_{2}$, on a $x_{2}-x_{1}\geqslant 0$, et $3$ est positif : $$\boxed{f(x_{2})-f(x_{1})\geqslant 0}$$

(b) Cette différence étant positive, on a $f(x_{1})\leqslant f(x_{2})$ : l'ordre est conservé. $$\boxed{f \text{ est croissante sur } \mathbb{R}}$$

2. Soient $x_{1}\leqslant x_{2}$. Alors : $$g(x_{2})-g(x_{1})=(-2x_{2}+5)-(-2x_{1}+5)=-2\left(x_{2}-x_{1}\right)$$ Ici $x_{2}-x_{1}\geqslant 0$ mais le facteur $-2$ est négatif, donc le produit est négatif : $g(x_{2})\leqslant g(x_{1})$. L'ordre est inversé. $$\boxed{g \text{ est décroissante sur } \mathbb{R}}$$

3. (a) Soient $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}$. Alors : $$h(x_{2})-h(x_{1})=\left(x_{2}^{2}+1\right)-\left(x_{1}^{2}+1\right)=x_{2}^{2}-x_{1}^{2}$$ On reconnaît une différence de deux carrés : $$\boxed{h(x_{2})-h(x_{1})=(x_{2}-x_{1})(x_{2}+x_{1})}$$

(b) Le facteur $x_{2}-x_{1}$ est positif puisque $x_{1}\leqslant x_{2}$, et le facteur $x_{2}+x_{1}$ est positif comme somme de deux nombres positifs. Le produit de deux nombres positifs étant positif : $$h(x_{2})-h(x_{1})\geqslant 0 \qquad \text{donc} \qquad \boxed{h \text{ est croissante sur } [0\,;+\infty[}$$

(c) Soient maintenant $x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant 0$. La factorisation reste valable, et le facteur $x_{2}-x_{1}$ est toujours positif ; en revanche $x_{2}+x_{1}$ est cette fois négatif, comme somme de deux nombres négatifs. Le produit est donc négatif : $$\boxed{h \text{ est décroissante sur } ]-\infty\,;0]}$$ On retrouve les variations de la fonction carré, simplement décalées de $1$ vers le haut.