Exercice 18

1. $B(0)=-5$ signifie que pour une production nulle, le bénéfice vaut $-5$ milliers d'euros. $$\boxed{\text{Sans rien produire, l'entreprise perd } 5\,000 \text{ euros}}$$ Ce sont les frais fixes : loyer, machines, salaires…

2. Le maximum du tableau est $23$, atteint pour $x=7$. Or $x$ est un nombre de centaines d'objets, et $B$ s'exprime en milliers d'euros : $$\boxed{\text{Il faut produire } 700 \text{ objets ; le bénéfice vaut alors } 23\,000 \text{ euros}}$$

3. Non. Le bénéfice augmente tant que $x$ reste inférieur à $7$, mais il diminue ensuite : $B$ est décroissante sur $[7\,;12]$. $$\boxed{\text{Produire davantage ne garantit pas un bénéfice plus élevé}}$$

4. Sur $[0\,;7]$, $B$ croît de $-5$ à $23$ : comme $0$ est compris entre ces deux valeurs, il y a une solution. Sur $[7\,;12]$, $B$ décroît de $23$ à $-1$ : là encore une solution. $$\boxed{L'\text{équation } B(x)=0 \text{ admet } 2 \text{ solutions}}$$ Ce sont les deux productions pour lesquelles le bénéfice est nul : l'entreprise ne gagne ni ne perd d'argent.

5. Non : le tableau ne donne les valeurs de $B$ qu'en $0$, $7$ et $12$. En revanche, $3$ appartient à $[0\,;7]$ où $B$ est croissante, donc $B(0)\leqslant B(3)\leqslant B(7)$ : $$\boxed{-5\leqslant B(3)\leqslant 23}$$ Un tableau de variations ne donne jamais toutes les valeurs d'une fonction : il permet seulement de les encadrer.