ExerciceSeconde, chapitre 7 — Fonctions numériques · Fonctions de référence

Exercice 19

Démonstration

Dans le repère ci-dessous sont tracées les courbes des quatre fonctions de référence, notées $\mathcal{C}_{1}$ , $\mathcal{C}_{2}$ , $\mathcal{C}_{3}$ et $\mathcal{C}_{4}$ dans le désordre.

1. Associer à chaque courbe l'une des quatre fonctions $x\mapsto x^{2}$ , $x\mapsto\sqrt{x}$ , $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ et $x\mapsto x^{3}$ . On justifiera chaque réponse par au moins deux arguments (ensemble de définition, signe, allure, variations, points particuliers).

2. Donner le nom de chacune de ces quatre courbes (parabole, hyperbole, …).

3. Toutes ces courbes passent par un même point. Lequel ? Le vérifier par le calcul.

4. Sur l'intervalle $]0\,;1[$ , ranger les quatre courbes de la plus haute à la plus basse. Et sur $]1\,;+\infty[$  ?

Corrigé

1. On raisonne d'abord sur les ensembles de définition, puis sur l'allure.

Courbe	Fonction	Justification
$\mathcal{C}_{1}$	$x\mapsto\dfrac{1}{x}$	C'est la seule courbe en deux morceaux, qui n'existe pas en $0$ , et dont une partie est dans le troisième quadrant.
$\mathcal{C}_{2}$	$x\mapsto x^{2}$	Elle est définie sur $\mathbb{R}$ , toujours au-dessus de l'axe des abscisses, et symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
$\mathcal{C}_{3}$	$x\mapsto x^{3}$	Elle est définie sur $\mathbb{R}$ , croissante, et prend des valeurs négatives pour $x<0$ : c'est ce qui la distingue de $\mathcal{C}_{2}$ .
$\mathcal{C}_{4}$	$x\mapsto\sqrt{x}$	C'est la seule courbe qui n'existe pas pour $x<0$  ; elle croît lentement et reste sous la droite d'équation $y=x$ pour $x>1$ .

2. $\boxed{\begin{array}{l} \mathcal{C}_{1} \text{ est une \textbf{hyperbole}} \\[1mm] \mathcal{C}_{2} \text{ est une \textbf{parabole}} \\[1mm] \mathcal{C}_{3} \text{ est une \textbf{cubique}} \\[1mm] \mathcal{C}_{4} \text{ est une \textbf{demi-parabole}} \end{array}}$

3. Les quatre courbes se croisent au point de coordonnées $\boxed{(1\,;1)}$ . On le vérifie : $1^{2}=1 \qquad ; \qquad \sqrt{1}=1 \qquad ; \qquad \frac{1}{1}=1 \qquad ; \qquad 1^{3}=1$

4. Sur $]0\,;1[$ , c'est l'hyperbole qui domine (elle prend des valeurs supérieures à $1$ ), puis viennent la racine, puis $x^{2}$ , puis $x^{3}$ : $\boxed{\text{sur } ]0\,;1[ \; : \; \frac{1}{x} \; > \; \sqrt{x} \; > \; x^{2} \; > \; x^{3}}$ Sur $]1\,;+\infty[$ , l'ordre entre les trois dernières s'inverse, et l'hyperbole passe en dessous de tout le monde puisqu'elle devient inférieure à $1$ : $\boxed{\text{sur } ]1\,;+\infty[ \; : \; x^{3} \; > \; x^{2} \; > \; \sqrt{x} \; > \; \frac{1}{x}}$

Énoncé PDF, p. 7 Corrigé PDF, p. 11 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Application ℝ, corps ordonné complet Racine carrée d'un réel positif

Thèmes

ensemble de définition, courbe représentative, variations, fonction carré, fonction racine carrée, fonction inverse, fonction cube

Notions

application