Exercice 20

1. $$4^{2}=\boxed{16} \quad ; \quad (-4)^{2}=\boxed{16} \quad ; \quad (0{,}5)^{2}=\boxed{0{,}25} \quad ; \quad \left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\boxed{\frac{1}{9}}$$ Deux nombres opposés ont toujours le même carré.

2. (a) $0\leqslant 2{,}5\leqslant 2{,}6$ et la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $\boxed{2{,}5^{2}<2{,}6^{2}}$

(b) $-3{,}2\leqslant -3{,}1\leqslant 0$ et la fonction carré est décroissante sur $]-\infty\,;0]$ : $\boxed{(-3{,}1)^{2}<(-3{,}2)^{2}}$

(c) Ici les deux nombres ne sont pas du même signe : on ne peut pas invoquer directement les variations. On passe par les opposés, $(-2)^{2}=2^{2}$, et $1{,}9\leqslant 2$ donne $1{,}9^{2}\leqslant 2^{2}$ : $$\boxed{1{,}9^{2}<(-2)^{2}}$$

3. Sur $[2\,;5]$, la fonction carré est croissante, donc elle conserve l'ordre : $$2\leqslant x\leqslant 5 \; \Longrightarrow \; 2^{2}\leqslant x^{2}\leqslant 5^{2} \qquad \text{soit} \qquad \boxed{4\leqslant x^{2}\leqslant 25}$$

4. Sur $[-3\,;-1]$, la fonction carré est décroissante : elle inverse l'ordre. $$-3\leqslant x\leqslant -1 \; \Longrightarrow \; (-3)^{2}\geqslant x^{2}\geqslant (-1)^{2} \qquad \text{soit} \qquad \boxed{1\leqslant x^{2}\leqslant 9}$$ C'est l'erreur la plus fréquente : écrire $9\leqslant x^{2}\leqslant 1$, ce qui n'a aucun sens.

5. Non, car l'intervalle $[-2\,;3]$ contient $0$ : la fonction carré y est d'abord décroissante, puis croissante, et l'on ne peut pas appliquer la méthode précédente d'un seul coup. On raisonne alors directement : le plus petit carré est obtenu en $x=0$, et le plus grand à l'extrémité la plus éloignée de $0$, ici $3$. $$\boxed{0\leqslant x^{2}\leqslant 9}$$