Exercice 21

1. $$\frac{1}{4}=\boxed{0{,}25} \quad ; \quad \frac{1}{-0{,}5}=\boxed{-2} \quad ; \quad \frac{1}{\frac{2}{3}}=\boxed{\frac{3}{2}=1{,}5}$$ On retiendra que l'inverse d'un quotient s'obtient en échangeant numérateur et dénominateur.

2. (a) $0<3<4$ et la fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ : $\boxed{\dfrac{1}{3}>\dfrac{1}{4}}$

(b) $-4<-3<0$ et la fonction inverse est décroissante sur $]-\infty\,;0[$ : $\boxed{\dfrac{1}{-4}>\dfrac{1}{-3}}$

(c) Ici les deux nombres $-2$ et $5$ sont de signes contraires : ils ne sont pas dans le même intervalle de monotonie, et l'on ne peut pas appliquer la propriété. On compare donc directement : $$\frac{1}{-2}=-0{,}5 \quad \text{et} \quad \frac{1}{5}=0{,}2 \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\frac{1}{-2}<\frac{1}{5}}$$ Un négatif est toujours plus petit qu'un positif. On observe au passage que l'ordre n'a pas été inversé, alors que $-2<5$ : c'est bien la preuve que la fonction inverse n'est pas décroissante sur $\mathbb{R}^{*}$ tout entier.

3. Sur $[2\,;5]$, la fonction inverse est décroissante : $$2\leqslant x\leqslant 5 \; \Longrightarrow \; \frac{1}{2}\geqslant\frac{1}{x}\geqslant \frac{1}{5} \qquad \text{soit} \qquad \boxed{\frac{1}{5}\leqslant\frac{1}{x}\leqslant \frac{1}{2}}$$

4. Sur $[-4\,;-1]$, la fonction inverse est également décroissante : $$-4\leqslant x\leqslant -1 \; \Longrightarrow \; -\frac{1}{4}\geqslant\frac{1}{x}\geqslant -1 \qquad \text{soit} \qquad \boxed{-1\leqslant\frac{1}{x}\leqslant -\frac{1}{4}}$$

5. Non. L'intervalle $[-2\,;3]$ contient $0$, où la fonction inverse n'est même pas définie. De plus, en s'approchant de $0$, les valeurs de $\dfrac{1}{x}$ deviennent aussi grandes (ou aussi petites) que l'on veut. $$\boxed{\text{Aucun encadrement n'est possible}}$$