Exercice 22

1. $$\sqrt{0}=\boxed{0} \; ; \; \sqrt{1}=\boxed{1} \; ; \; \sqrt{49}=\boxed{7} \; ; \; \sqrt{0{,}25}=\boxed{0{,}5} \; ; \; \sqrt{\frac{9}{16}}=\boxed{\frac{3}{4}}$$

2. La fonction racine carrée est croissante sur $[0\,;+\infty[$, donc elle conserve l'ordre : $$5<7 \; \Longrightarrow \; \boxed{\sqrt{5}<\sqrt{7}} \qquad ; \qquad 0{,}3<0{,}4 \; \Longrightarrow \; \boxed{\sqrt{0{,}3}<\sqrt{0{,}4}}$$

3. $$\sqrt{x}=5 \iff x=5^{2} \iff \boxed{x=25} \qquad ; \qquad \sqrt{x}=0 \iff \boxed{x=0}$$

4. $$2^{3}=\boxed{8} \; ; \; (-2)^{3}=\boxed{-8} \; ; \; (0{,}1)^{3}=\boxed{0{,}001} \; ; \; \left(-\frac{1}{2}\right)^{3}=\boxed{-\frac{1}{8}}$$ Contrairement au carré, le cube conserve le signe.

5. La fonction cube est croissante sur $\mathbb{R}$ : $$-2<-1 \; \Longrightarrow \; \boxed{(-2)^{3}<(-1)^{3}} \qquad ; \qquad 1{,}1<1{,}2 \; \Longrightarrow \; \boxed{1{,}1^{3}<1{,}2^{3}}$$

6. $$x^{3}=8 \iff \boxed{x=2} \qquad ; \qquad x^{3}=-27 \iff \boxed{x=-3}$$

$$\boxed{\text{Chaque équation admet exactement une solution}}$$ En effet, la fonction cube étant strictement croissante sur $\mathbb{R}$, elle ne peut pas prendre deux fois la même valeur : contrairement à la fonction carré, il n'y a jamais deux antécédents.