Exercice 23

1. On suppose $1\leqslant x\leqslant 4$. Sur cet intervalle, les fonctions carré, racine carrée et cube sont croissantes, tandis que la fonction inverse est décroissante.

(a) $\boxed{1\leqslant x^{2}\leqslant 16}$

(b) $\boxed{1\leqslant\sqrt{x}\leqslant 2}$

(c) L'ordre est inversé : $\boxed{\dfrac{1}{4}\leqslant\dfrac{1}{x}\leqslant 1}$

(d) $\boxed{1\leqslant x^{3}\leqslant 64}$

(e) On part de a) et l'on multiplie par $2$ (positif, l'ordre est conservé), puis on ajoute $1$ : $$2\leqslant 2x^{2}\leqslant 32 \qquad \text{puis} \qquad \boxed{3\leqslant 2x^{2}+1\leqslant 33}$$

(f) On part de c) et l'on multiplie par $-1$, ce qui inverse l'ordre, puis on ajoute $3$ : $$-1\leqslant -\frac{1}{x}\leqslant -\frac{1}{4} \qquad \text{puis} \qquad \boxed{2\leqslant 3-\frac{1}{x}\leqslant\frac{11}{4}=2{,}75}$$

2. On suppose $-3\leqslant x\leqslant -1$. La fonction carré est décroissante sur cet intervalle, la fonction cube y est croissante, et la fonction inverse décroissante : $$\boxed{1\leqslant x^{2}\leqslant 9} \qquad ; \qquad \boxed{-27\leqslant x^{3}\leqslant -1} \qquad ; \qquad \boxed{-1\leqslant\frac{1}{x}\leqslant -\frac{1}{3}}$$ Quant à $\sqrt{x}$ : $\boxed{\text{la racine carrée n'est pas définie pour } x<0}$

3. On suppose $0\leqslant x\leqslant 1$. La fonction carré est croissante sur $[0\,;1]$ : $$\boxed{0\leqslant x^{2}\leqslant 1}$$ On multiplie par $-3$, ce qui inverse l'ordre, puis on ajoute $5$ : $$-3\leqslant -3x^{2}\leqslant 0 \qquad \text{puis} \qquad \boxed{2\leqslant 5-3x^{2}\leqslant 5}$$